Rappels sur le calcul de la probabilité

1.Le problème

Nous voulons calculer la probabilité quand et sont deux suites aléatoires dont les densités de probabilité sont des gaussiennes et , et où est un seuil fixé.

2.Méthode << classique >>

Nous avons :

Or, nous savons (voir Book:Papoulis, page 222) que la loi de probabilité de , où les obéissent chacun à une loi normale et où les valent ou , est normale et vaut :

Donc ce que nous voulions démontré est démontré.

3.Méthode << à la main >>

La démonstration est beaucoup plus laborieuse, mais, pour emporter la conviction, il faut l'avoir faite une fois à la main.

La formule des probabilités totales nous donne :

où est le domaine de définition de . Ici .

Nous obtenons donc :

Nous posons :

donc :

et :

avec :

Nous voulons écrire les trois premiers termes de sous la forme :

où peut être fonction de tout sauf de .

Nous obtenons :

Nous avons donc :

Décomposons :

Or, . Donc , et :

Si nous combinons et nous obtenons :

De même si nous combinons et :

Puis et :

Et, enfin, et :

s'écrit alors :

Or :

Donc :

Nous avons ainsi :

Alors :

Soit, finalement :

Puisque les bornes d'intégration sont finies et puisque la fonction à intégrer ne présente pas de singularités, cette intégrale se calcule aisément numériquement.