Les 
variables aléatoires 
sont indépendantes. Nous nous plaçons dans le cas où les 
obéissent à un processus de Rayleigh. Si les 
obéissaient à une loi normale, 
(voir la section ssec:dppz) suivrait une loi du 
(voir Book:Papoulis page 250, ou Book:Abra page 940) et 
(voir la section ssec:dppu) une loi du 
.
Soit 
des variables aléatoires qui obéissent au même processus de Rayleigh. La densité de probabilité de chaque 
est :
Calculons la densité de probabilité de 
. Nous avons 
et 
. Ainsi (voir Books:Charbit page 28) :
La densité de probabilité de 
est :
où 
représente la convolution.
La densité de probabilité de 
est :
Finalement, nous avons, pour 
:
L'intégrale de toute densité de probabilité étant égale à 
, et le domaine de définition de 
étant 
, nous avons :
Si nous faisons le changement de variable 
, nous obtenons, en sachant que 
pour 
et 
entier positif (voir Book:Beyer page 290), après quelques calculs :
où 
représente la factorielle. Et donc :
Finalement : 
, donc 
, 
, et :
Le domaine de définition de 
est 
. La moyenne de 
est alors :
Que vaut 
? En fait, 
tend vers 
quand 
tend vers l'infini, comme le montre le tableau tabl:tabconv2. Nous ne donnons pas de preuve analytique.
Soit un signal de bruit gaussien 
de taille 
. Nous savons que les échantillons fréquentiels du spectre réel et ceux du spectre imaginaire sont des variables aléatoires qui suivent des lois 
. De plus, nous savons (voir Book:Brillinger) qu'elles sont indépendantes. Ainsi, les échantillons fréquentiels du spectre d'amplitude (module du spectre complexe) suivent une loi de Rayleigh :
dont la moyenne est : 
. Pour 
, nous obtenons 
: il s'agit de la droite en pointillés de la figure figu:figmoyspe. En trait plein est représentée l'évolution de la moyenne en fonction du nombre de points utilisés pour la calculer en pratique. Le signal de bruit blanc simulé est de longueur 
. Le premier spectre, obtenu avec la première réalisation du signal nous donne 
points : la moyenne est calculée sur 
points ; le deuxième nous donne 
autres points : la moyenne est calculée sur 
points ; etc. Nous voyons que la moyenne pratique rejoint la moyenne théorique.
