La fenêtre de pondération de Poisson dans le domaine temporel a pour expression :
où 
est la fenêtre rectangulaire, de largeur 
, centrée en 0, et valant 1 entre 
et 
.
La transformée de Fourier du premier terme, qui est la fonction de Poisson, est :
avec 
; et celle du second terme est :
La transformée de Fourier 
du signal total est :
où 
représente la convolution.
Soit :
Nous allons dans cette annexe résoudre cette intégrale.
Nous décomposons, avec l'aide de Maple (voir Book:Redfern), l'expression 
sous l'intégrale, en éléments simples. Nous obtenons :
Nous avons 
.
Nous avons : 
Donc 
.
Changeons de variable :
La fonction à intégrer dans 
étant impaire, nous avons 
.
Changeons de variable :
Nous avons 
et 
, car les fonctions à intégrer sont impaires.
En remplaçant terme par terme et en remettant les bornes comme il faut, nous obtenons :
Changeons de variable :
Or, 
, donc 
.
Finalement : 
De la même façon :
et de 
Dans un premier temps, nous avons calculé 
et 
numériquement. Tout d'abord, Maple nous apprend que (nous avons testé pour un grand nombre de 
) :
Ceci reste à prouver.
Donc il suffit de calculer l'une des deux intégrales pour avoir l'autre. Bien sûr, nous calculons 
, qui converge plus vite que 
puisque la fonction à intégrer décroît en 
au lieu de décroître en 
. Nous nous limitons à utiliser la formule de Simpson :
Nous constatons que la fonction passe par 0 tous les 
, 
étant entier, et qu'à une portion large de 
où la fonction est toujours positive succède une portion de la même largeur où elle est toujours négative, et inversement. De plus, l'intégrale sur une portion positive est supérieure à la valeur absolue de l'intégrale sur la partie négative qui la suit, à cause du dénominateur. Nous calculons donc 
sur un nombre 
entier de fois 
:
Le facteur 2 est dû au fait que la fonction est paire, c'est-à-dire au fait que :
Nous obtenons une bonne estimation. Ainsi, avec 
, 
, nous obtenons :
(avec, pour notre intégration, 
et 
, le nombre de pas par lequel nous divisons chaque portion large de 
).
Nous avons déjà un résultat intéressant : les deux intégrales 
et 
ne dépendent pas de 
, il suffit donc de les calculer une fois, où même d'avoir une table fixe contenant la solution de ces intégrales pour différents 
.
Dans Book:Beyer, page 288, nous trouvons que :
Soit, dans notre cas (
, et 
et 
toujours positifs) :
Nous avons donc :
Finalement, nous obtenons :
qui est la transformée de Fourier de 
, avec 
.
Les problèmes qu'il nous restait à résoudre étaient les suivants :
La première équation nous a été confirmée dans Book:Dwight.
Les preuves de ces deux équations nous ont été données dans Book:Edwards. La seconde équation a été résolue par Laplace en 1811 ( Bulletin de la Société Philosophique), qui utilisa une méthode légèrement compliquée et tordue, que nous pouvons trouver à la référence citée. Nous avons trouvé, pour 
et 
, une autre preuve, infiniment plus sympathique, dans Book:Dixmier. Nous allons rapidement la présenter, pour 
et 
quelconques.
Mais, tout d'abord, nous allons donner la preuve, relativement simple, de la première équation.
Il suffit, pour qu'elle nous saute aux yeux, du moins plus facilement, de partir de (avec, pour simplifier, 
positif et différent de 
) :
Passons de 
à 
. Nous avons alors :
Puis :
Avec 
qui tend vers 
quand 
tend vers 
. 
passe par son maximum 
pour une valeur 
de 
, compris dans l'intervalle 
. Alors le second terme est inférieur à :
Et cette expression tend vers 
avec 
.
Donc (en utilisant le résultat de la seconde équation à prouver) :
De plus 
et 
sont paires et, dans notre cas, 
. Donc la démonstration est complète.
Nous utilisons dans cette section le théorème des résidus. La fonction considérée est (avec 
et 
) :
Nous définissons les sous-ensembles 
, 
et 
de 
ainsi :
est holomorphe dans 
.
D'après le théorème des résidus, nous avons :
Avec :
Et, 
étant fermé et étant le bord orienté dans le sens direct d'un sous-ensemble de 
contenant le point singulier de 
, nous avons :
Donc :
Nous avons de plus :
Et :
Or :
Donc :
De sorte que cette intégrale tend vers 
quand 
tend vers 
. Nous obtenons donc :
De plus :
Comme la fonction à intégrer dans 
est impaire, l'intégrale est nulle. Et, comme la fonction à intégrer dans 
est paire, nous avons bien :
Nous avons :
Et :
Donc, 
étant 
, nous avons :
Sur les figures figu:fen1 (
) et figu:fen2 (
), sont représentées trois fenêtres de pondération dans le domaine fréquentiel. Ces trois fenêtres de pondération sont celles de Blackman (trait en tirets et points), Hanning (trait en tirets) et Hanning-Poisson (trait plein). Pour 
suffisamment grand (la limite étant environ 1), la fenêtre de Hanning-Poisson est sans lobes secondaires.
