pour une variable aléatoire gaussienne pour une variable aléatoire gaussienne
d'une variable aléatoire gaussienne
Soit un processus aléatoire 
. Nous nous plaçons dans le cas général où 
n'est pas nulle.
Le moment d'ordre 
s'écrit :
où 
est la densité de probabilité de la variable aléatoire 
et 
l'opérateur espérance. Ainsi :
Il faut faire le changement de variable 
. Alors, nous obtenons :
Pour chaque 
, nous développons 
, de telle façon que 
soit la somme d'intégrales du type :
avec 
et 
. Nous profitons alors de ce que :
La solution de la première intégrale est évidente puisque la fonction à intégrer est impaire ; et celle de la seconde vient de ce que :
(voir Book:Beyer page 290)
Finalement, après quelques calculs, nous obtenons :
Nous n'avons pas ici besoin d'aller au-delà de 
[Note : 
et 
sont utilisés lors du calcul de 
et de 
: voir la section sect:varva.].
Deux estimateurs de la variance sont couramment utilisés :
ou :
avec :
Le premier est biaisé, alors que le second ne l'est pas. Nous prouvons que :
et que :
Il suffit de développer 
et 
et de les exprimer en fonction des moments 
, 
... Ceci nous conduit, si nous le faisons à la main, à des calculs un peu tordus (surtout pour les variances des estimateurs de la variance : voir la section sect:varva), peu réjouissants, mais pas très compliqués. Nous donnons ci-dessous les détails pour 
:
Donc :
Résolvons les sommes 
, 
et 
l'une après l'autre. Nous utilisons pour cela les résultats de la section sect:momva.
Ensuite :
le premier terme venant des 
cas où 
(alors : 
) et le deuxième terme des 
cas où 
(alors : 
).
Finalement :
Nous prouvons de la même façon que :
et que :
Ainsi, la variance de l'estimée est moins grande dans le cas biaisé que dans le cas non biaisé.