. Si un vibrato est détecté, nous déterminons ses paramètres (fréquence, amplitude, phase). Voir les chapitres chap:traitvib à chap:fusiovib.
- Pendant un silence, l'énergie est très petite : en effet, est toujours présent un bruit ; et, si nous faisons l'hypothèse que ce bruit est blanc, le taux de passage par zéro est très grand.
- Si nous sommes en présence d'un signal qui n'est pas du bruit et dont l'amplitude est très faible (fin de la chute d'une note par exemple), l'énergie est très petite, mais le taux de passage par zéro lui aussi est petit.
Dans Article:Monta1, une technique basée seulement sur l'énergie est proposée. Dans Article:Jacobs, une sorte d'inventaire (<< survey >>) des méthodes de détection des silences est donnée.
. L'absence ou la présence de vibrato est l'une des étiquettes définies dans la section sect:seca. Le vibrato posant de grands problèmes quand il s'agit de segmenter en zones stables, nous nous sommes particulièrement intéressé à la résolution de ces problèmes.
de la modulation est plus petite qu'un certain seuil, elle n'est pas entendue. Il s'agit de ce qui est appelé le seuil différentiel de fréquence. Ce seuil dépend de la fréquence 
du son pur (<< pur >> veut dire parfaitement sinusoïdal). Au-dessous de 
, il est à peu près indépendant de la fréquence et vaut 
. Au-delà de 
, il croît à peu près linéairement avec la fréquence 
et vaut approximativement 
. Mais ce seuil dépend aussi de la fréquence de modulation 
: les mesures que nous venons d'indiquer sont valables pour 
; il dépend aussi du niveau sonore ; et il vaut pour les sons purs, pas pour les sons complexes (<< complexe >> veut dire composé d'une somme de sinusoïdes, de partiels harmoniques ou non). Nous n'avons donc pas utilisé ce critère pour la prise de décision.
que nous avons implémentées pour détecter le vibrato sont explicitées. Certaines d'entre elles nous permettent d'estimer les paramètres du vibrato.
(pour l'aide à la segmentation en zones stables notamment) que nous avons utilisée.
. Ainsi, il est nécessaire de détecter le vibrato, d'estimer ses paramètres et de le supprimer sur le trajet de 
:
) : ceci concerne la détection, et la suppression
réside en ce que son amplitude peut être supérieure à celle du saut de fréquence entre deux notes. Nous donnons sur la figure sivisist un exemple de ce que nous pourrions avoir à l'extrême. Le trajet de 
d'un son simulé est présenté. Nous avons modélisé le vibrato par une sinusoïde pure de fréquence 
et de phase 
. Les deux notes jouées sont un 
(
) suivi d'un 
(
). L'amplitude du vibrato est 
. Pour le modèle de transition en fréquence entre les deux notes utilisé, voir la section ssse:modefre. Nous avons pris 
et 
.
>> par exemple) devient problématique (voir la figure fig:pourq, page fig:pourq). Nous devons supprimer ce vibrato sur le trajet de 
avant de calculer la fonction d'observation.
, ajouter un autre vibrato sur le trajet de 
une fois le vibrato initial supprimé, puis resynthétiser le son avec ce nouveau trajet de 
.
autour de sa valeur centrale. Cette variation n'est pas forcément sinusoïdale : il faut modéliser le vibrato comme une somme de sinusoïdes (d'harmoniques du vibrato !) dont les amplitudes et les fréquences instantanées varient dans le temps. La fréquence fondamentale du vibrato est en général comprise entre 
et 
.
quand un vibrato est présent mis en place.
quand un vibrato est présent. La fréquence fondamentale 
instantanée à l'instant 
s'écrit :
, est la composante continue, représentant la hauteur du son, la note jouée : il s'agit de ce que nous voulons retrouver après suppression du vibrato sur le trajet de 
(voir le chapitre met_sup_vib).
, est le nombre d'harmoniques du vibrato pris en compte.
, est l'amplitude instantanée de l'harmonique du vibrato de numéro d'ordre 
.
, est la phase instantanée de l'harmonique du vibrato de numéro d'ordre 
. Nous avons :
, est la période d'échantillonnage du trajet de 
.
, est la fréquence instantanée du premier harmonique du vibrato.
, est un résidu de modélisation.
du vibrato[Note : Voir la section sect:harmvib, où nous montrons pour un signal sonore réel que les amplitudes des harmoniques du vibrato de numéros d'ordre supérieurs sont très petites, tellement petites que nous pouvons considérer que ces harmoniques du vibrato sont absents.]. De plus, si nous faisons l'hypothèse que la hauteur du son est stable sur une note, que les paramètres du vibrato (fréquence, amplitude, phase) ne changent pas sur une note, et qu'il n'y a pas de résidu de modélisation, nous avons, pour chaque note :
est la phase à l'origine du vibrato ; et l'évolution de la phase du signal 
s'écrit :
et 
par :
représente le moment où le saut en fréquence a lieu, 
la rapidité à laquelle ce saut se fait, et 
l'amplitude du saut. Ainsi, 
. Quand 
tend vers 
, 
tend vers 
; et quand 
tend vers 
, 
tend vers 
: ainsi, 
passe de 
à 
. La phase s'écrit :
de 
sinusoïdes harmoniques, la fréquence fondamentale variant comme indiqué ci-dessus, nous avons :
(
), 
(
), 
et 
, nous obtenons le trajet de la fondamentale présenté sur la figure aa.
: voir la section ssse:am.
(amplitude au cours de la première note) à 
(amplitude au cours de la seconde note), en s'approchant de 0 au << moment >> de la transition. 
et 
peuvent être modulés (trémolo). Nous modélisons l'amplitude 
de chaque partiel ainsi :
et 
(donc 
est plus grand que 
). 
représente la rapidité de la chute de la première note, et 
la rapidité de l'attaque de la seconde note. Avec 
, 
, 
et 
, 
, 
, nous obtenons le trajet de l'amplitude présenté sur la figure bb.
(
) à un 
(
). Elle est donnée sur la figure ffsig. Les figures ffamp1 et ffamp2 présentent respectivement le trajet en fréquence et le trajet en amplitude de la fondamentale pour cette portion du signal. La fréquence de la fondamentale et son amplitude ont été déterminées à partir du spectre d'amplitude calculé sur des fenêtres d'analyse larges de 6 millisecondes, ce qui représente à peu près 2,6 périodes pour la première note et 2,9 pour la seconde. Puisque 
, chaque fenêtre d'analyse est large de 192 échantillons. L'échantillon fréquentiel 
pour lequel nous avons le maximum du spectre d'amplitude entre 
et 
est une première estimation de la fréquence fondamentale. La valeur 
du spectre d'amplitude pour l'échantillon fréquentiel 
est une première estimation de l'amplitude de la fondamentale. Nous faisons passer un polynôme d'ordre 2 par les échantillons fréquentiels de numéros d'ordre 
, 
et 
. L'endroit où sa dérivée s'annule nous donne une estimation plus précise de la fréquence fondamentale, et la valeur de ce polynôme à cet endroit nous donne une estimation plus précise de l'amplitude de la fondamentale.
, où 
est le numéro d'ordre des harmoniques. Deux notes se succèdent. Lors de la transition, la fréquence fondamentale passe de 
à 
. Nous présentons les résultats pour la fonction d'observation << flux spectral calculé avec les spectres d'amplitude >> (voir la partie part:seg_mon_har, sections ssse:deflu et flux_spectres, page ssse:deflu) sur les figures savib1 (trajet de 
) et savib2 (trajet du << flux spectral >>) quand aucun vibrato n'est présent, et sur les figures avvib1 (trajet de 
) et avvib2 (trajet du << flux spectral >>) quand un vibrato est présent. Nous constatons que la présence d'un vibrato rend le << flux spectral >> inutilisable pour la segmentation en zones stables.
(
seconde) ; 
(0,005 seconde) ; 
; et la fenêtre de pondération utilisée est celle de Blackman. La fréquence du vibrato est 
, son amplitude 
et sa phase à l'origine 
. Pour le modèle de transition en fréquence utilisé, voir la section ssse:modefre. Nous avons choisi 
et 
. Le modèle de transition en amplitude décrit dans la section ssse:am n'a pas été utilisé.
. Ceci fait l'objet des méthodes proposées dans ce chapitre. La méthode décrite dans la deuxième section (section vib_mod_spe) de ce chapitre ne permet pas de détecter le vibrato sans extraire ses paramètres. Il est intéressant de détecter la présence de vibrato, sans passer par le trajet de 
, mais aussi sans estimer les paramètres du vibrato. Ceci fait l'objet de la méthode présentée dans la troisième section (section vibr) de ce chapitre. La méthode décrite dans la quatrième section (section sect:laroche) de ce chapitre nécessite d'être adaptée pour être utilisée sur des sons réels. La cinquième section (section sect:concchap12) de ce chapitre constitue une conclusion à ce chapitre.
de l'amplitude complexe de chaque harmonique (dont le numéro d'ordre est 
), la partie imaginaire 
de l'amplitude complexe de chaque harmonique, l'excursion 
en 
du vibrato, la fréquence 
en 
du vibrato, la phase à l'origine 
du vibrato et la fréquence fondamentale 
en 
.
, 
variant de 1 à 60 ; de fréquences 
, avec 
; d'amplitudes 
et de phases aléatoires uniformément distribuées entre 
et 
) pour lesquels un vibrato de fréquence 
, de phase à l'origine nulle et d'amplitude 
, avec 
, est présent. Ce signal est échantillonné à 
. Il faut remarquer que l'amplitude du vibrato étant 
pour l'harmonique de numéro d'ordre 
, le signal est à tout moment harmonique.
seconde. Nous considérons des portions de ce signal larges de 13230 échantillons, soit larges de 0,3 seconde, ce qui est beaucoup eu égard à ce qui est communément utilisé comme taille de fenêtre d'analyse[Note : Voir la note de la page note:sife.], mais ce qui correspond à l'ordre de grandeur des tailles des fenêtres d'analyse utilisées dans le chapitre det_vib_f0 pour la détection du vibrato à partir des trajets des harmoniques du signal. Le pas d'avancement entre deux portions successives est de 100 échantillons. Chacune d'elles est multipliée par la fenêtre de pondération 
. Nous calculons le spectre d'amplitude pour chaque portion pondérée. L'instant courant pour chaque fenêtre d'analyse est l'instant 
de son centre. Le trajet théorique de la fréquence fondamentale instantanée, 
, est obtenu en considérant que 
.
harmonique est la suivante. Le maximum du spectre d'amplitude entre 
et 
est détecté. L'amplitude de ce 
harmonique est égale à l'amplitude de ce maximum. Nous estimons ainsi les amplitudes 
des neuf premiers harmoniques. Le produit 
(il s'agit d'une version de la moyenne géométrique : voir la section ssec:fushomomul) est calculé. Nous présentons sur la figure amp40 le trajet de 
(courbe du haut) et le trajet du produit 
(courbe du bas : l'échelle, pour ce produit, n'est pas respectée) obtenus.
des amplitudes passe par des maximums quand la fréquence instantanée du premier harmonique (et donc celle de chaque harmonique) passe par des maximums ou des minimums (
), et par des minimums quand sa valeur est voisine de la fréquence fondamentale quand il n'y a pas de vibrato (
).
, la fréquence fondamentale passe par un maximum (
: l'évolution de la fréquence au centre de la portion est faible). Nous donnons sur la figure evofre le spectre d'amplitude obtenu.
, la valeur absolue de la dérivée de la fréquence fondamentale passe par un maximum (
: l'évolution de la fréquence au centre de la portion est importante). Nous donnons sur la figure fig_spe_fff le spectre d'amplitude obtenu.
plus petit que le pic obtenu quand il n'y a pas de vibrato. Pour le neuvième harmonique, la différence est de 
.
. Pour le neuvième harmonique, elle est de 
si nous considérons le maximum du spectre d'amplitude dans la bande de fréquences 
et de 
si nous considérons la valeur du spectre d'amplitude au centre de cette bande (voir la figure fig_spe_fff : les lobes sont symétriques autour de 
et creux au centre).
) sont nulles : ces hypothèse ne sont pas restrictives. Donc le signal s'écrit :
est la fonction de Bessel d'ordre 
entier.
et 
, nous pouvons écrire :
, s'écrit, après quelques calculs :
de cette expression se calcule aisément :
. La transformée de Fourier de la fenêtre de pondération est 
.
ayant la forme de la transformée de Fourier de la fenêtre de pondération, la somme d'une infinité de pics d'amplitude 
(il faut cependant noter que les coefficients de Bessel, à 
constant, décroissent rapidement avec 
croissant) ayant chacun la forme de la transformée de Fourier de la fenêtre de pondération. Ces pics sont séparés de 
, et ils sont constructifs ou destructifs les uns entre les autres suivant les phases (c'est-à-dire suivant le signe des coefficients de Bessel).
s'écrit :
, nous avons :
(formule 1)
, où 
est le numéro d'ordre de l'harmonique. 
et 
sont des constantes. Ainsi 
croît linéairement avec le numéro d'ordre de l'harmonique. Et, pour 
, la valeur absolue du coefficient de Bessel décroît rapidement avec 
.
. Nous obtenons la courbe fon_gen_bes. En abscisse, nous avons le nombre de coefficients de Bessel pris en compte. La courbe la plus à gauche correspond à 
et la plus à droite à 
(le pas d'avancement est 2). Donc plus le numéro d'ordre de l'harmonique est élevé, plus son énergie se disperse sur un nombre élevé de pics : ainsi, plus son lobe sera étalé autour de la fréquence centrale, et plus l'amplitude de ce lobe sera faible.
est la fréquence fondamentale << centrale >>, 
l'amplitude en 
du vibrato, et 
la fréquence du vibrato.
pour la fondamentale[Note : Dans cet exposé, la fréquence fondamentale est appelée indifféremment 
ou 
. La phase de la fondamentale est appelée 
ou 
. Voir la note de la page page:note.], et une phase à l'origine 
pour le vibrato. 
s'écrit alors :
partiels harmoniques modulés par un vibrato, d'amplitudes respectives 
et de phases à l'origine respectives 
, 
variant de 
à 
, nous avons :
. La transformée de Fourier de la fenêtre de pondération s'écrit 
. La transformée de Fourier de :
multiplié par la fenêtre de pondération 
est alors :
entre un vecteur colonne connu 
, de taille 
, et un vecteur colonne estimé 
, contrôlé par 
paramètres 
. Si les dérivées d'ordre supérieur à 
de 
par rapport aux 
ne sont pas nulles, le problème n'est pas linéaire et 
est itérativement minimisée. Nous allons considéré ici ce cas général. Soit 
représentant le numéro de l'itération courante. Nous avons :
représente la transposition-conjugaison. Les autres notations utilisées dans ce chapitre sont : l'exposant 
, qui représente la transposition ; l'exposant 
, qui représente l'inversion ; l'exposant 
, qui représente la conjugaison ; et le soulignement, qui indique que nous sommes en présence d'un vecteur ou d'une matrice.
, qui est l'inconnue, correspond au pas de descente optimal. Nous le montrons sur la figure figu:pasopt dans le cas où 
et 
sont des scalaires et 
.
, c'est-à-dire annuler sa dérivée : 
. Or :
, où 
est un paramètre libre fixé. Dans cet exposé, nous avons utilisé la seconde condition d'arrêt, avec 
de l'ordre de 20.
est le spectre complexe obtenu avec la fft, rangé dans un vecteur colonne ; 
est le spectre complexe estimé ; et les paramètres 
sont :
paramètres à déterminer (il est fait l'hypothèse que 
est connu).
par rapport à ces paramètres, à donner des formules analytiques pour ces dérivées. Il n'existe pas de formule analytique, ni pour les fonctions de Bessel ni pour leurs dérivées. Cependant, elles sont aisément estimables, avec une grande précision, numériquement.
est connue. Nous avons constaté que ce paramètre ralentissait la convergence ou, au pire, la rendait problématique. Dans l'exemple, nous avons pris 
. Les valeurs des paramètres à trouver sont rangées dans la première colonne du tableau valfautrou et les valeurs initiales (itération 
) de ces paramètres sont rangées dans la deuxième colonne de ce même tableau. 
est égale à 
.
d'erreur sur chaque paramètre. La fenêtre de pondération utilisée est celle de blackman. Nous prenons en compte 
coefficients de bessel pour chaque sinusoïde (
). Nous avons 
seconde (
), 
, le nombre de points pour la fft égal à 
et nous travaillons avec les 
premiers points du spectre complexe des fréquences positives.
sur le paramètre 
à l'itération 
ainsi :
d'erreur correspond à 
, 
à 
, puis 
à 
, etc.
sur lequel nous travaillons (l'énergie de la fenêtre de pondération n'étant pas normalisée, nous n'avons pas 
pour la première des sinusoïdes, d'amplitude 1), et sur les figures figu:moco2 et figu:moco3 l'erreur 
en fonction de 
respectivement pour 
, 
et 
, puis pour 
, 
, 
, 
, 
et 
(
correspond aux conditions initiales). Nous constatons que l'algorithme converge vers les bonnes valeurs des paramètres.
est comprise entre 
and 
et 
est grand, il y a du vibrato.
, 
et 
sont directement obtenues.
, donc sa période est de quelques centaines de millisecondes). Cependant, il ne s'agit pas ici de déterminer l'amplitude, la fréquence et la phase du vibrato : nous voulons seulement le détecter, et non déterminer ces paramètres. Notamment, le manque d'information dû au fait que nous utilisons des petites fenêtres d'analyse va se traduire par l'obtention d'une équation à deux variables inconnues de la forme : 
, où 
est l'amplitude du vibrato (modélisé par une sinusoïde : voir la section ssec:modsim) et 
sa fréquence (voir la section cons_vib pour les notations).
, correspondant chacun à la transformée de Fourier de la fenêtre de pondération utilisée, et d'amplitudes les coefficients de Bessel (voir la section ssse:for). Cependant, la plus grande partie de l'énergie du spectre (98%) est comprise dans la bande de Carson, qui est centrée sur la fréquence de la porteuse et est égale à : 
, où 
est l'excursion maximale en fréquence de la modulation et 
la fréquence maximale de la modulation. Ainsi, avec nos notations, nous avons, pour le 
harmonique : 
, qui augmente linéairement avec le numéro d'ordre 
de l'harmonique. Avec 
, 
et 
(ce qui correspond à 5% de 
), nous avons 
à partir de l'harmonique de numéro d'ordre 
, donc de fréquence 
. Cela veut dire qu'à partir du vingtième harmonique, les lobes dus à deux harmoniques de numéros d'ordre successifs se recouvrent. Notons de plus que dans ce cas 
tombe juste dans la bande de fréquence où l'oreille humaine entend le mieux (voir l'annexe anne:attenu). Nous allons tenter de mettre en évidence cette croissance linéaire de la bande de Carson : la méthode décrite dans cette section vibr est basée sur ce principe.
. La taille de l'une (portion 
) a été fixée à 
millisecondes et la taille de l'autre (portion 
) à 
millisecondes : voir la figure viban. Le spectre d'amplitude est calculé pour chacune de ces portions (ces spectres d'amplitudes sont appelés respectivement 
et 
). Notons que la fenêtre de pondération que nous utilisons est la fenêtre de Blackman.
(grande portion) sont plus petits, à cause du vibrato, que les lobes principaux correspondant du spectre d'amplitude 
(petite portion), et ce d'autant plus qu'ils correspondront à des harmoniques de numéros d'ordre élevés. Nous avons indiqué qu'il ne s'agit ici ni de déterminer la fréquence fondamentale du signal ni de déterminer les paramètres du vibrato. Aussi, nous allons plutôt raisonner en terme d'enveloppe spectrale. Ainsi : plus la fréquence considérée sera grande, plus la différence entre les deux enveloppes spectrales sera grande.
que pour le spectre d'amplitude 
, mais sont en plus décalés en fréquence, et ce d'autant plus que le numéro d'ordre de l'harmonique considéré est grand.
(
est le numéro d'ordre de l'harmonique) est grand moins les coefficients 
d'ordre 
grand sont négligeables. Ceci est illustré sur la figure figcoef (avec 
et 
).
, 
, 
, 
(nous nous plaçons dans le cas le plus défavorable : c'est-à-dire le cas où les lobes sont le plus détériorés) et des phases aléatoires, uniformément réparties entre 
et 
, pour chacun des harmoniques. La fenêtre de pondération utilisée a été la fenêtre de Blackman (des résultats similaires sont obtenus avec les fenêtres de Hanning et de Hamming). La taille de la fft est 
.
décalées de 
) décroît avec le numéro d'ordre de l'harmonique. Il s'agit d'essayer de déterminer une loi pour cette décroissance. Sur la figure declin nous donnons l'amplitude du maximum du lobe principal des quinze premiers harmoniques en fonction de leur position, et ceci pour plusieurs tailles de fenêtres d'analyse. À cause du vibrato la position du maximum du lobe principal n'est pas tout à fait 
. À la limite, si nous prenons une très grande fenêtre d'analyse, le maximum pour le premier harmonique se situe à 
ou 
(voir la figure figcoef), c'est-à-dire à 
; pour le deuxième harmonique autour de 
; pour le troisième harmonique autour de 
; etc. Et le lobe principal pour chaque harmonique se décompose en plusieurs petits lobes symétriquement disposés (voir la figure fig_spe_fff). Ici, nous utilisons des fenêtres d'analyse de tailles << raisonnables >>, c'est-à-dire de quelques dizaines de millisecondes, de telle façon que la somme des << petits lobes >> nous donne un grand et large lobe, unique, tout du moins pour les premiers harmoniques : dans l'exemple utilisé ici, ceci est vérifié au moins pour les quinze premiers harmoniques.
et 
. Considérons tout d'abord 
, l'amplitude de l'harmonique de numéro d'ordre 
du spectre d'amplitude 
; 
, celle du spectre d'amplitude 
; et 
, l'amplitude vraie de l'harmonique. Alors 
croît quasi linéairement avec 
. Donc, si nous faisons l'hypothèse que 
est très proche de 
, ce qui est presque vérifié puisque plus la fenêtre d'analyse est petite moins l'influence du vibrato se fait sentir (voir la figure declin), le problème est résolu. Ceci est montré sur la figure formlin, où nous donnons, sur les courbes en traits pleins, 
[Note : 
pour << estimée >> : 
]. Ici, nous avons un << formant >> situé autour du cinquième harmonique, formant de forme gaussienne. L'amplitude de l'harmonique de numéro d'ordre 
est : 
, soit : 
.
Les amplitudes 
sont estimées en utilisant une fenêtre d'analyse de 20 millisecondes prise au centre de la fenêtre d'analyse de 60 millisecondes qui nous donne les 
(voir la figure viban). En trait interrompu, nous avons les amplitudes vraies des harmoniques, et les amplitudes trouvées avec la petite fenêtre d'analyse : nous constatons que les deux courbes sont quasi superposées. Pour obtenir les courbes en traits pleins de cette figure formlin, nous avons directement divisé la valeur du maximum de chacun des lobes obtenus pour la grande fenêtre par la valeur du maximum du lobe correspondant obtenu pour la petite fenêtre d'analyse, sans tenir compte des décalages de positions en fréquence de ces maximums selon la fenêtre d'analyse. Dans la suite de l'exposé, nous interpolons linéairement entre ces maximums, pour obtenir les enveloppes spectrales, et ce sont ces enveloppes spectrales que nous comparons, échantillon fréquentiel par échantillon fréquentiel, pour obtenir la courbe 
. Ces enveloppes spectrales sont données sur la figure envel pour les différentes fenêtres d'analyse. La fenêtre de pondération utilisée est celle de blackman. La phase (qui est liée à la position des fenêtres d'analyse) du vibrato ici est 0, mais nous obtenons des résultats similaires quelle que soit cette phase : seulement, dans certains cas, les amplitudes 
sont un peu moins bien estimées (en fait, au pire, les points de la vraie enveloppe spectrale sont décalés en fréquence : le point en 
se retrouve en 
) : mais nous retrouvons tout de même une croissance de la différence entre les deux enveloppes spectrales d'allure quasi linéaire. La pente de cette croissance dépend de 
et de 
.
. Un creux est un minimum local :
,
est l'opérateur supérieur ou égal, 
est l'opérateur et, 
l'opérateur supérieur, et 
l'opérateur ou.
, n'assure cependant pas encore que nous ne puissions pas avoir deux maximums locaux successifs (ou deux minimums) sans minimum local (ou maximum) intercalé entre eux !
pour que le pic ne soit pas pris en compte.
est présente. Les maximums locaux dans le premier cas (portion large de 
seconde) sont repérés par des 
et des 
; dans le second cas (portion large de 
seconde), par des 
et des 
. Un seul pic est commun : celui qui a lieu vers 
.
est présente. Les maximums locaux dans le premier cas (fenêtre de pondération de Blackman) sont repérés par des 
et des 
; dans le second cas (fenêtre de pondération de Hanning), par des 
et des 
. Un seul pic est commun : celui qui a lieu vers 
.
points et les enveloppes spectrales sont calculées entre le 30ème et le 512ème échantillon fréquentiel (c'est-à-dire entre 
et 
). Les tailles des deux fenêtres d'analyse sont 60 et 20 millisecondes. Pour calculer les enveloppes spectrales, nous n'avons pas utilisé les techniques que nous avons présentées dans la section ssec:ameenv, mais celle donnée dans la section calenvspe.
par une droite (polynôme d'ordre 1) 
. S'il y a du vibrato, la pente 
doit être positive et grande. Ceci pour plusieurs pas d'analyse consécutifs : nous lissons la valeur de la pente obtenue sur une largeur de 
seconde. S'il n'y a pas de vibrato, nous obtenons du bruit : le lissage nous donne une valeur proche de 0. Voir les figures ppf1 (trajet de 
pour un signal modulé en fréquence) et ppf2 (moyenne de 
en fonction de 
).
).
sinusoïdes, un trémolo étant présent, s'écrit :
sont égales, et valent la fréquence du vibrato 
. Dans le cas général, ce n'est pas forcément vrai.
d'amplitude 
, un autre en 
d'amplitude 
et le dernier en 
d'amplitude 
. Le lobe principal de chaque harmonique est détérioré indépendamment de ceux des autres harmoniques, et tous les lobes principaux sont élargis d'autant, contrairement à ce qui se passe pour la modulation de fréquence. Si nous considérons les deux fenêtres d'analyse précédentes, de tailles respectives 60 millisecondes et 20 millisecondes :
la << valeur absolue de la dérivée du flux entre le spectre d'amplitude et l'enveloppe spectrale calculés sur une même portion du signal >>.
le << flux entre deux enveloppes spectrales calculées pour deux portions successives, décalées de 
échantillons >>.
de ce << flux >>, mais avant le lissage.
croît quasi linéairement avec 
: 
, donc 
est grand et positif. La décision est prise ainsi :
et le << flux >> sont grands, il y a du vibrato.
, 
et 
.
comme la somme de 
sinusoïdes complexes dont les amplitudes instantanées sont représentées par des polynômes d'ordre 
aux coefficients 
complexes. Ainsi, les modulations de fréquence et d'amplitude sont modélisées dans ces coefficients. Nous avons (avec 
le signal estimé) :
et 
le numéro de l'échantillon (la taille du signal est 
: 
). Nous pouvons réécrire ce signal ainsi :
). Avec (en considérant que 
) :
, nous utilisons les moindres carrés (voir la section ssec:moincar). Ici, le problème est linéaire. Nous voulons minimiser l'erreur quadratique :
comprend 
lignes et 
colonnes, et que le vecteur colonne 
comprend 
éléments.
: 
.
et nous considérons que 
reste petit, donc 
. Ainsi :
et nous considérons que 
reste petit, donc 
. Ainsi :
.
et nous considérons que 
reste petit, donc 
.
.
. Le signal que nous avons simulé est le suivant :
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
et 
sont données dans le tableau tabl:vallar.
seconde (
). La fréquence instantanée du signal passe de 
pour 
seconde à 
pour 
seconde. La partie réelle du signal simulé est présentée sur la figure fig:partreel.
et de 
(en haut à gauche), de 
(en bas à gauche), de 
et de 
(en haut à droite), de 
(en bas à droite) ; ce respectivement pour 
et 
, avec 
: ceci veut dire que :
de 
est choisi parmi ces trois mesures 
, 
et 
:
sont calculées. Si la plus petite a lieu pour l'indice 
, nous décidons que 
.
(
), selon l'ordre 
du polynôme utilisé (abscisse) et suivant la fréquence 
utilisée pour calculer 
. Ainsi, la courbe du haut correspond à 
et celle du bas à 
. Nous voyons qu'environ 
les séparent.
(de taille 
, ou dans le cas général 
) à inverser devient de plus en plus mauvais, du fait que certaines de ses valeurs sont beaucoup plus grandes que d'autres (comparer 
à 
). Ainsi l'inversion de cette matrice est plus difficile. Cependant, Laroche s'était limité à l'ordre 3 (page 87 de Thesis:Laroche) : nous pouvons dire que la méthode est efficace même pour des ordres supérieurs. Il suffit pour cela de constater que, pour construire 
, à la place d'utiliser 
, les numéros d'ordre des échantillons, nous pouvons utiliser 
, où 
est la période d'échantillonnage du signal en seconde, ou toute autre valeur 
, où 
est une constante. Ceci nous permet de résoudre en partie les problèmes de conditionnement : par tâtonnement, nous choisissons un 
qui nous permet d'inverser correctement la matrice 
.
. Mais nous n'avons pas essayé de << séparer >> les deux influences, de repérer ce qui dans 
est dû à un vibrato et ce qui est dû à un trémolo. D'autres influences sont à considérer, comme les glissandos, en amplitude et en fréquence. Il s'agit de construire un critère de décision spécifique pour chaque influence, basé sur l'étude de la << forme >> de 
. De plus, au lieu de considérer des signaux complexes, il serait intéressant de plutôt tout réécrire pour des signaux réels ; et il serait intéressant aussi d'étudier la sensibilité de cette méthode au bruit. Il s'agit de perspectives.
, trajet déterminé par le logiciel 
(voir la section ssse:foncf0, page ssse:foncf0). Nous travaillons dans toute la suite avec une fréquence d'échantillonnage pour 
de 
. Cette fréquence d'échantillonnage est celle qui est utilisée par défaut par les logiciels 
et additive.
. L'apport de la prise en compte du vibrato présent sur les harmoniques du signal de numéros d'ordre supérieurs n'a pas été étudié. Il s'agit de perspectives.
analysées chevauchent l'une de ces transitions. Ainsi, il faut noter que le problème de la segmentation en zones stables et celui de l' analyse du vibrato sont indissociables : l'étude du vibrato a pour but d'améliorer les performances de la segmentation ; mais l'étude du vibrato serait facilitée si elle était précédée d'une segmentation efficace.
et 
. Quand nous voulons détecter les sinusoïdes d'un signal périodique à partir du spectre d'amplitude calculé avec la fft, la taille de la fenêtre d'analyse doit être d'environ trois fois la période fondamentale de ce signal. Ainsi, dans notre cas, où le signal est le trajet de 
, cette taille doit être d'environ 1 seconde, dans le cas le plus défavorable, c'est-à-dire quand 
vaut 
. Cette taille est trop importante : le signal n'est pas stationnaire sur 1 seconde, ne serait-ce que parce que généralement les notes durent moins d'une seconde. Mais elle est trop petite aussi, puisque cela correspond à une fenêtre d'analyse large de 
échantillons, donnant donc après fft une précision fréquentielle de 
.
original) et/ou augmenter la précision fréquentielle, ceci tout en ayant encore accès aux informations de phase et d'amplitude instantanées, qui sont des paramètres du vibrato que nous voulons estimer. Sur la figure figu:deesprelin, le synoptique de la méthode est donné.
suivant :
seconde, 
, 
et 
seconde, 
, 
et 
seconde, 
, 
et 
est égale à 
. L'amplitude du vibrato est modulée par un cosinus relevé de période la durée de chaque note. Un bruit normal de variance faible (
) est finalement ajouté.
modélise les transitions en fréquence et en amplitude du vibrato ; et où : 
, 
, 
, 
, 
et 
. Nous avons :
sont des variables aléatoires uniformément réparties entre 
et 
.
. La moyenne de chaque portion est normalisée à 0. Nous modélisons chaque portion moyennée par un processus auto-régressif d'ordre 16 (la méthode de burg est utilisée : voir Article:Marple) et nous prédisons son futur, ainsi que son passé, sur 17 échantillons. Nous obtenons donc un portion large de 69 (35+17+17) échantillons.
sur tout le signal sont respectivement, pour le spectre d'amplitude sans prédiction, la densité spectrale de puissance et le spectre d'amplitude avec prédiction 
, 
et 
(elles valent 
, 
et 
si seulement deux harmoniques du vibrato sont considérés).
est échantillonné à 
et nous utilisons des portions larges de 
seconde. Donc nous calculons la fft avec 
échantillons utiles : ceci correspond à à peine plus d'une période du vibrato. Nous utilisons les résultats de la modélisation ar et de la prédiction. L'ordre des modèles est 6. Nous contatons sur les figures figu:f0simu et figu:f0pred que l'algorithme simple que nous utilisons est robuste, c'est-à-dire que le vibrato mesuré n'est pas absurde en comparaison de celui que nous observons << à l'oeil >>, sauf aux moments des transitions, qui posent un problème non résolu : nous voulons extraire le vibrato pour améliorer la segmentation, mais une bonne segmentation améliorerait l'extraction du vibrato.
est grand, il y a du vibrato.
, avec 
. Nous détectons les 
maximums locaux 
, survenant aux instants 
. Un maximum local a lieu en l'instant 
si :
minimums locaux 
aux instants 
.
. Nous appelons cette enveloppe 
. Nous obtenons l'enveloppe inférieure de la même façon avec les minimums locaux. Nous l'appelons 
. Finalement, le signal << trajet de 
une fois le vibrato supprimé >>, appelé 
, est, à tout instant d'échantillonnage 
de 
, calculé ainsi :
>> dans sa globalité, c'est-à-dire sur tout le son, soit quelques secondes ou dizaines de secondes. Donc, dans un premier temps, tous les maximums locaux du trajet de 
sont détectés. La liste listmax de ces maximums est dressée. Le trajet maxinterp est obtenu en interpolant entre ces points. Toutes les distances temporelles entre deux maximums locaux successifs sont calculées, ce qui nous donne la liste distmax.
. Nous obtenons les listes listmin et distmin et le trajet mininterp.
seconde et 
seconde est estimé (nous obtenons le pourcentage Pmax)
seconde et 
seconde est estimé (nous obtenons le pourcentage Pmin)
seconde et 
seconde correspond à une fréquence du vibrato comprise entre 
et 
. Quand un vibrato est présent, la plupart des périodes du vibrato sont comprises dans ce petit intervalle, ce qui veut dire que les valeurs des deux variances sont petites et que les valeurs des deux pourcentages sont grandes. Nous pouvons le constater dans le tableau tab:resdet. Les résultats présentés ont été obtenus pour l'extrait de flûte flute.sf, pour lequel il y a quasi absence de vibrato, et pour l'extrait de voix chantée voiceP.sf, pour lequel il y a présence d'un fort vibrato. Ces deux sons sont ceux utilisés dans le chapitre chap:perfvib pour tester les performances des techniques décrites dans cette partie.
de ces distances relatives est grande, le vibrato est significatif et il est nécessaire de le supprimer.
: moyenne de (maxinterp - mininterp)/(nouveau trajet de 
)
du trajet maxinterp et du trajet mininterp nous donne le nouveau trajet de 
, c'est-à-dire le << trajet de 
sur lequel le vibrato est supprimé >>.
du vibrato est obtenue en calculant la moyenne de maxinterp - mininterp sur tout le son. La fréquence 
du vibrato est obtenue en faisant la moyenne des distmax et des distmin.
seconde.
de maximums locaux par portion.
, pour une portion donnée, le nombre 
de maximums locaux présents est égal à 1 ou 2.
, pour une portion donnée, le nombre 
de maximums locaux présents est égal à 2 ou 3.
, pour une portion donnée, le nombre 
de maximums locaux présents est égal à 3 ou 4.
et 
respectivement le nombre de maximums et de minimums locaux pour la portion considérée, d'instant central 
; et Mfreq
, la moyenne des distances relatives pour cette même portion. L'idée est de construire une fonction d'observation basée sur ces trois mesures. Nous avons utilisé, comme fonction d'observation :
Mfreq
vaut respectivement pour 
: